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解一维无限深势阱(解定态薛定谔方程)

一维势场定态薛定谔方程求解

Martin Hung
2020年3月13日
未分类

定态薛定谔方程求解：

假设粒子在一维势场中运动，势场满足：

$U(x)=\left\{\begin{matrix}0,0\leq x\leq a\\+\infty,x>a,x<0\end{matrix}\right.$

解：

设粒子的波函数为 $\psi (x)$ , 由定态薛定谔方程得：

$\hat{H}\psi (x)=E\psi (x)$

其中 $\hat{H}$ 为粒子的哈密顿量，为粒子动能与势能的总和，E为粒子的能量。

$\hat{H}=\frac{\vec{p}^{2}}{2m}+U(\vec{r},t)$ 同时在数学上，对波函数有以下算法对应关系： $\vec{p}\rightarrow -i\hbar\triangledown$

当x<0和x>a时，在势阱外。

当0<x<a时，U(x)=0，在势阱内：

由上述薛定谔方程出发，综合上述得：

$[\frac{\hbar^{2}}{2m}\bigtriangledown^{2} +U(x)]\psi (x)=E\psi (x)$

由于研究的问题是一维、定态(不含时)，上述方程改写为：

$\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}}{dx^{2}}\psi (x) +E\psi (x)=0$

为解方程方便，设有某系数k:

$k=\sqrt{\frac{2mE}{ \hbar ^{2}}}$

原方程变形为：

$\frac{d^{2}}{dx^{2}}\psi (x)+k^{2}\psi (x)=0$

由数学物理方法得，上式通解为：

$\psi (x)=C_{1}\cos kx+C_{2}\sin kx$

现在从边界条件入手逼出特解：

$\because \psi (0)=0\therefore C_{1}=0$

原式变为 $\psi (x)=C_{2}\sin kx$

又 $\because \psi (a)=0,\therefore C_{2}\sin ka=0,ak=n\pi (n=1,2,3\cdots )$

所以，本征波函数为 $\psi (x)=C_{2}\sin \frac{n\pi }{a}x,(n=1,2,3\cdots )$

进行归一化处理：

$\int_{-\infty }^{+\infty }\left |\psi (x) \right |^{2}d\tau =\int_{0}^{a}\left | C_{2} \right |^{2}\sin ^{2}(\frac{n\pi x}{a})dx=1$

利用倍角公式 $\cos 2\alpha =1-2\sin ^{2}\alpha$ ，化简得：

$\int_{0}^{a}\left | C_{2} \right |^{2}\frac{1-\cos 2(\frac{n\pi x}{a})}{2}dx=1,(n=1,2,3\cdots )$

拆散积分项以简易计算：

$\int_{0}^{a}\frac{1}{2}\left | C_{2} \right |^{2}dx-\int_{0}^{a}\frac{1}{2}\cos 2\frac{n\pi x}{a}dx=1,n=(1,2,3\cdots )$

$=\int_{0}^{a}\frac{1}{2}\left | C_{2} \right |^{2}dx-\frac{a}{4n\pi }\int_{0}^{2\pi }cos udu=1,u=\frac{2n\pi x}{a},n=(1,2,3\cdots )$

可以观测到，第二项积分结果为0，所以：

$\int_{0}^{a}\frac{1}{2}\left | C_{2} \right |^{2}dx=1\Rightarrow C_{2}=\sqrt{\frac{2}{a}}$

所以该粒子的波函数为：

$\psi (x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin \frac{n\pi }{a}x,n=(1,2,3\cdots )$

同时利用上述设定的系数k求得体系的本征能级为：

$E=\frac{n^{2} \pi^{2} \hbar^{2}}{2ma^{2}},n=(1,2,3\cdots )$

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