通过旧量子论解一维无限深势阱

有一个质量为m的球在一个一维的盒子里运动，盒子长度是a，盒子壁不可穿透，球和盒壁的碰撞是弹性的（即碰撞不会改变球的能量），盒子是固定的；球的大小忽略不计，不考虑摩擦力：

1、画出球在相空间的轨迹(至少两条)

2、按照旧量子论，求出这个球的量子能级。

3、解定态薛定谔方程。

解：

如图所示，建立坐标：

1、可以观测得：小球仅在 $x=\pm \frac{a}{2}$ 的坐标内运动，且弹性碰撞无能量耗散。可得相图：

且相图轨迹不会相交。

2、据索末非量子化条件，有：

$\oint p_{i} d q_{i}=nh,(n=1,2,3\cdots)$

对于上述相图，取P=P0的初始状态，由积分的几何意义得：

$\oint pdx=nh=S_{px}=2p_{0}a,(n=1,2,3\cdots )$

因为粒子的哈密顿量仅有动能，可得粒子的本征态能级为：

$E_{n}=E_{k}=\frac{p_{0}^{2}}{2m}=\frac{n^{2}h^{2}}{8ma^{2}},(n=1,2,3\cdots )$

3、对于上述粒子，哈密顿量为：

$\hat{H}=\frac{\vec{p}^{2}}{2m}$

由一维定态薛定谔方程得：

$\hat{H}\psi (x)=E\psi (x),\vec{p}=-i\hbar\frac{d}{dx}$

结合上述可整理得：

$\frac{d^{2}}{dx^{2}}\psi (x)+k^{2}\psi (x)=0,k=\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^{2}}}$

的形式，因为本文的坐标建立虽然美观但是比较非主流，把坐标原点放在瓶底的端点，可以参考我另外的文章解出归一化本征波函数和粒子的本征能级，结果会一模一样。