求一均匀带电棒在真空中无限长带电导线的受力

题目：真空中有一无限长带电导线，其电荷线密度为。相距导线长度a处有一长为L的均匀带电棒AB，电荷量为Q，求AB棒的受力。

思路：微元法，先求场强分布，再求棒上的力元，再积分。

解：

1.1、微元法求场强

如图所示，建立坐标

取带点导线上一点线元（P点）对X轴上任意一点（Q点）的电场强度为

$\vec{E}=\frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}}\frac{\lambda l}{r^{2}}\vec{e_{r}}$

看得出来电场应该是个对称场，看不出来别做了。现在要求的就是 $\vec{E_{x}}(x)$

数学准备：

$\sin \varphi =\frac{l}{r}=\frac{1}{\csc \varphi },tan\varphi =\frac{x}{l}=\frac{1}{\cot \varphi }$

推论：

$r=a\csc \varphi ,l=a\cot \varphi$

物理准备：

$dq=\lambda dl,dl=acsc^{2}\varphi d\varphi$

来了：

$\vec{E_{x}}=\int d\vec{E_{x}}=2\int_{\frac{\pi }{2}}^{0}\frac{\lambda \vec{i}}{4\pi \varepsilon _{0}x}\sin \varphi d\varphi =\frac{\lambda }{2\pi \varepsilon _{0}}\frac{1}{x}\vec{i}$

1.2、高斯定理求场强

如图所示，建立坐标

由高斯定理得：

$\oint_{s} \vec{E}d\vec{s}=\frac{\sum q_{i}}{\varepsilon _{0}}$

取柱面坐标,闭合圆柱面为高斯面，采用图示的正方向，看得出来是对称场，可得：

$\oint_{s}\vec{E}(x)d\vec{s}=\frac{\lambda l }{\varepsilon _{0}}\Rightarrow \vec{E}(x)=\frac{\lambda }{2\pi \varepsilon _{0}}\frac{1}{x}\vec{i}$

2、求AB所受的力

$\vec{F}=\int \vec{E}(x)dq=\int_{a}^{a+L} \vec{E}(x)\frac{Q}{L}dx=\frac{\lambda Q}{2\pi \varepsilon _{0}L}\vec{i}\int_{a}^{a+L}\frac{1}{x}dx$

故：

$\vec{F}=\frac{\lambda Q}{2\pi \varepsilon _{0}L}\ln (1+\frac{L}{a})\vec{i}$

解：

1.1、微元法求场强

1.2、高斯定理求场强

2、求AB所受的力

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